Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-3，0）、B（0，-3）兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；
（2）若二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點(diǎn)在直線AB上，求m，n；
（3）①?設(shè)m=-2，當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，求二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值；
?②若當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-4，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出解析式，
（2）先表示出二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點(diǎn)，利用直線AB列出式子，再與點(diǎn)A在二次函數(shù)上得到的式子組成方程組求得m，n的值，
（3）①易求拋物線解析式為y=x²-2x-15．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和增減性來(lái)求二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值；
②本題要分四種情況：當(dāng)對(duì)稱軸-3＜-$\frac{m}{2}$＜0時(shí)；當(dāng)對(duì)稱軸-$\frac{m}{2}$＞0時(shí)；當(dāng)對(duì)稱軸-$\frac{m}{2}$=0時(shí)；當(dāng)對(duì)稱軸-$\frac{m}{2}$≤-3時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A得出式子9-3m+n=0，求出m，n但一定要驗(yàn)證是否符合題意．

解答 解：（1）A（-3，0），B（0，-3）代入y=kx+b得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)y=kx+b的解析式為：y=-x-3；

（2）二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點(diǎn)為（-$\frac{m}{2}$，$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$）
∵頂點(diǎn)在直線AB上，
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=$\frac{m}{2}$-3，
又∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），
∴9-3m+n=0，
∴組成方程組為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n-{m}^{2}}{4}=\frac{m}{2}-3}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=9}\end{array}\right.$．

（3）①當(dāng)m=-2時(shí)，9-3m+n=0，
解得 n=-15，
∴y=x²-2x-15．
∵對(duì)稱軸直線x=1在-3≤x≤0右側(cè)，
∴x=0時(shí)，y最小值是-15．
∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
∴9-3m+n=0，
∴當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-4；

②如圖1，i）當(dāng)對(duì)稱軸-3＜-$\frac{m}{2}$＜0時(shí)，最小值為$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4，與9-3m+n=0，組成方程組為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n-{m}^{2}}{4}=-4}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=21}\end{array}\right.$（由-3＜-$\frac{m}{2}$＜0知不符合題意舍去）
所以$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
ii）如圖2，當(dāng)對(duì)稱軸-$\frac{m}{2}$＞0時(shí)，在-3≤x≤0時(shí)，x為0時(shí)有最小值為-4，
把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=$\frac{5}{3}$．
∵-$\frac{m}{2}$＞0，
∴m＜-2，
∴此種情況不成立，
iii）當(dāng)對(duì)稱軸-$\frac{m}{2}$=0時(shí)，y=x²+mx+n的最小值為-4，
把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=$\frac{5}{3}$．
∵-$\frac{m}{2}$=0，
∴m=0，
∴此種情況不成立，
iiii）當(dāng)對(duì)稱軸-$\frac{m}{2}$≤-3時(shí)，最小值為0，不成立．
綜上所述，m=2，n=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是在討論對(duì)稱軸不同位置得出m，n的值時(shí)，要結(jié)合對(duì)稱軸看結(jié)果是否符合題意．