Question

12．如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，且k為常數(shù)）的圖象過點E，且S_△AOE=3S_△OBE．
（1）求k的值；
（2）反比例函數(shù)圖象與線段BC交于點D，直線y=$\frac{1}{2}$x+b過點D與線段AB交于點F，延長OF交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象于點N，求N點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得E的坐標(biāo)，把點E（-3，4）代入利用待定系數(shù)法即可求出k的值；
（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標(biāo)為-4，點F的縱坐標(biāo)為4．由于點D在反比例函數(shù)的圖象上，所以點D的縱坐標(biāo)為3，即D（-4，3），由點D在直線y=$\frac{1}{2}$x+b上可得出b的值，進(jìn)而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線OF的解析式，然后聯(lián)立方程解方程組即可求得．

解答 解：（1）∵S_△AOE=3S_△OBE，
∴AE=3BE，
∴AE=3，
∴E（-3，4）
反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，且k為常數(shù)）的圖象過點E，
∴4=$\frac{k}{-3}$，即k=-12．

（2）∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點D的橫坐標(biāo)為-4，點F的縱坐標(biāo)為4．
∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點D的縱坐標(biāo)為3，即D（-4，3）．
∵點D在直線y=$\frac{1}{2}$x+b上，
∴3=$\frac{1}{2}$×（-4）+b，解得b=5．
∴直線DF為y=$\frac{1}{2}$x+5，
將y=4代入y=$\frac{1}{2}$x+5，得4=$\frac{1}{2}$x+5，解得x=-2．
∴點F的坐標(biāo)為（-2，4），
設(shè)直線OF的解析式為y=mx，
代入F的坐標(biāo)得，4=-2m，
解得m=-2，
∴直線OF的解析式為y=-2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{6}}\\{y=2\sqrt{6}}\end{array}\right.$．
∴N（-$\sqrt{6}$，2$\sqrt{6}$）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點等相關(guān)知識，難度較大．