Question

20．已知A（x，0），B（0，y），且已知$\sqrt{x+y-8}$+$\sqrt{x-y}$=0．點C為AB的中點，點F在OA上，點E在y軸負半軸上，OE+AF=EF，求∠ECF的大小．

Answer 1

分析 根據非負數(shù)的性質得到x+y-8=0，x-y=0，求得x=y=4，于是得到OA=OB=4，∠ABO=∠BAO=45°，由點C為AB的中點，求得OC⊥AB，∠COA=∠BOC=45°根據鄰補角定義得到∠CAK=∠COE=135°，推出△COE≌△CAK，根據全等三角形的性質得到OE=AK，CE=CK，根據已知條件得到EF=KF，求得△CEF≌△CKF，根據全等三角形的性即可得到結論．

解答 解：∵$\sqrt{x+y-8}$+$\sqrt{x-y}$=0，
∴x+y-8=0，x-y=0，
∴x=y=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，∠ABO=∠BAO=45°，
∵點C為AB的中點，
∴OC⊥AB，∠COA=∠BOC=45°，
∴∠CAK=∠COE=135°，OC=AC，
∵∠OCA=∠ECK=90°，
∴∠OCE=∠KCA，
在△OCE與△CAK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠CAK}\\{OC=CA}\\{∠OCE=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△CAK，
∴OE=AK，CE=CK，
∵AF+OE=EF，
∴EF=KF，
在△CEF與△CFK中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CK}\\{EF=FK}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CKF，
∴∠ECF=∠KCF=$\frac{1}{2}∠$ECK=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，坐標與圖象的性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．