Question

10．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式．
（3）H是線段OA上的一點，過點H作PH⊥x軸，與拋物線交于P點，若直線OB把△POH分成面積之比為1：2的兩部分，請求出P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可在直角三角形BOA中，根據(jù)AB的長和∠AOB的度數(shù)，求出OA的長．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：OC=OA，∠COA=60°，過C作x軸的垂線，即可用三角形函數(shù)求出C點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）求出的A，C點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）分兩種情況：①HE：HP=1：3；②HE：HP=2：3；根據(jù)等底的三角形面積比等于底邊的比求解即可．

解答 解：（1）如圖，過點C作CM⊥x軸，垂足為M．
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=2$\sqrt{3}$，
由折疊知，∠COB=30°，OC=OA=2$\sqrt{3}$，
∴∠COH=60°，OM=$\sqrt{3}$，CM=3
∴C點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過C（$\sqrt{3}$，3）、A（2$\sqrt{3}$，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=3a+\sqrt{3}b}\\{0=12a+2\sqrt{3}b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+2$\sqrt{3}$x．

（3）設(shè)直線OB的解析式為y=kx，則
2$\sqrt{3}$k=2，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則直線OB的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；
如圖，分兩種情況：
①HE：HP=1：3，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$x：（-x²+2$\sqrt{3}$x）=1：3，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\sqrt{3}$，
-（$\sqrt{3}$）²+2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
則P點的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3）；
②HE：HP=2：3；
$\frac{\sqrt{3}}{3}$x：（-x²+2$\sqrt{3}$x）=2：3，
解得x₃=0（舍去），x₄=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
-（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+2$\sqrt{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{4}$，
則P點的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
故P點的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3）或（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形面積等重要知識點，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．