Question

15．已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的表達(dá)式；
（3）求△ABC的面積；
（4）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法解方程可確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線的對稱性可確定A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（3）根據(jù)三角形面積公式求解；
（4）先利用待定系數(shù)法求出直線AC和BC的解析式分別為y=$\frac{4}{3}$x+8，y=-4x+8，再利用直線平行的問題可表示出直線EF的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$m+8，則通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}m+8}\\{y=-4x+8}\end{array}\right.$得F（$\frac{m}{4}$，-m+8），然后根據(jù)三角形面積公式，利用S=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF求解即可．

解答 解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，則OB=2，OC=8，
∴B（2，0），C（0，8），
∵拋物線的對稱軸是直線x=-2，
∴A（-6，0）；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+6）（x-2），
把C（0，8）代入得a•6•（-2）=8，解得a=-$\frac{2}{3}$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$（x+6）（x-2），即y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+8；
（3）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（2+6）×8=32；
（4）如圖，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，
把A（-6，0），C（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-6k+n=0}\\{n=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{n=8}\end{array}\right.$，
所以直線AC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，
同樣可求出BC的解析式為y=-4x+8，
∵AE=m，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（m-6，0），
∵EF∥AC，
∴直線EF的解析式可設(shè)為y=$\frac{4}{3}$x+p，
把E（m-6，0）代入得$\frac{4}{3}$（m-6）+p=0，解得p=-$\frac{4}{3}$m+8，
即直線EF的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$m+8，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}m+8}\\{y=-4x+8}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{4}}\\{y=-m+8}\end{array}\right.$，則F（$\frac{m}{4}$，-m+8），
∴S=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF
=32-$\frac{1}{2}$•m•8-$\frac{1}{2}$（8-m）•（-m+8）
=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；記住三角形的面積公式．