Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°＜α≤90°），分別交線段BC，AD于點E，F(xiàn)，連接BF．
（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)的過程中，寫出線段AF于EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當旋轉(zhuǎn)至90°時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明；
（3）若AB=1，BC=$\sqrt{5}$，當α=45°時，線段BF與DF相等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥CB，OA=OC，則∠FAO=∠ECO，于是可判斷△AOF≌△COE，則AF=CE；
（2）由于∠AOF=90°，∠BAC=90°，可判斷AB∥EF，易得四邊形ABEF為平行四邊形；
（3）先根據(jù)勾股定理計算出AC=2，由平行四邊形的性質(zhì)得OA=1，則可判斷△ABO為等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，由于當∠FBD=∠FDB時，BF=DF，加上∠FDB=∠CBD，所以∠FBD=∠CBD，即BO平分∠EBF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OB⊥EF，于是可計算出∠AOF=45°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到α的度數(shù)．

解答 解：（1）AF=CE．理由如下：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥CB，OA=OC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE；
（2）當旋轉(zhuǎn)至90°時，四邊形ABEF為平行四邊形．理由如下：
∵∠AOF=90°，∠BAC=90°，
∴AB∥EF，
而AF∥BE，
∴四邊形ABEF為平行四邊形；
（3）在Rt△ABC中，∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴OA=1，
∴△ABO為等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
當∠FBD=∠FDB時，BF=DF，
而∠FDB=∠CBD，
∴∠FBD=∠CBD，
即BO平分∠EBF，
∵OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=90°-45°=45°，
即α=45°．
故答案為45．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．