Question

5．如圖，已知一次函數(shù)y=2x-8與拋物線y=x²+bx+c都經(jīng)過x軸上的A點和y軸上的B點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為D，試求出點D的坐標和△ABD的面積；
（3）M是線段OA上的一點，過點M作MN⊥x軸，與拋物線交于N點，若直線AB把△MAN分成的兩部分面積之比為1：3，請求出N點的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B點坐標進而利用待定系數(shù)系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先利用配方法求出二次函數(shù)頂點坐標，再利用S_△ABD=S_{四邊形AOBD}-S_△AOB=S_梯形OBDG+S_△AGD-S_△AOB，求出答案；
（3）根據(jù)題意可得：$\frac{{S}_{△AMH}}{{S}_{△AHN}}$=$\frac{MH}{NH}$，進而利用直線AB把△MAN分成的兩部分面積之比為1：3，討論得出答案．

解答 解：（1）∵直線y=2x-8經(jīng)過x軸上的點A和y軸上的點B
∴0=2x-8，x=4，∴A（4，0），
y=2×0-8=-8，
∴B（0，-8），
又∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=16+4b+c}\\{-8=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線為：y=x²-2x-8；

（2）由（1）可得：y=x²-2x-8=（x-1）²-9，
故頂點坐標為：D（1，-9），
如圖，過D作x軸的垂線，交x軸于G，
則OG=1，
故S_△ABD=S_{四邊形AOBD}-S_△AOB
=S_梯形OBDG+S_△AGD-S_△AOB
=$\frac{1}{2}×$（8+9）×1+$\frac{1}{2}$×（4-1）×9-$\frac{1}{2}×$4×8
=6；

（3）如圖，過M作MN⊥x軸，交AB于H，交拋物線于N，設(shè)M（t，0）
則H（t，2t-8）；N（t，t²-2t-8）
由圖可知：$\frac{{S}_{△AMH}}{{S}_{△AHN}}$=$\frac{MH}{NH}$=$\frac{|2t-8|}{|{t}^{2}-2t-8-（2t-8）|}$=$\frac{2t-8}{{t}^{2}-4t}$，
①當$\frac{{{S_{△AMH}}}}{{{S_{△AHN}}}}=\frac{2t-8}{{{t^2}-4t}}=\frac{1}{3}$時，
解得：t₁=4，t₂=6都不合題意，舍去，
②當$\frac{{{S_{△AMH}}}}{{{S_{△AHN}}}}=\frac{2t-8}{{{t^2}-4t}}=\frac{3}{1}$時，
解得：t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=4（不合題意，舍去），
由①和②可得：t=$\frac{2}{3}$，
∴t²-2t-8=（$\frac{2}{3}$）2-2×$\frac{2}{3}$-8=-$\frac{80}{9}$，
∴N（$\frac{2}{3}$，-$\frac{80}{9}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及三角形面積求法和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．