Question

10．已知：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-6，0），C（0，-4）．
（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)D是線(xiàn)段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，可得PB=PA，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，可得CA與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)P，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得OE=6-$\frac{3}{2}$m，根據(jù)圖形分割法，可得二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式、對(duì)稱(chēng)軸的坐標(biāo)公式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-2}\\{36a-6b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得a$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$
∴此拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-4
（2）連結(jié)AC、BC．因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定，所以△PBC周長(zhǎng)最小，就是使PC+PB最�。�
B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對(duì)稱(chēng)軸x=-2的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
設(shè)直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y=kx+b
則$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ b=-4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=-4\end{array}\right.$
∴此直線(xiàn)的表達(dá)式為y=-$\frac{2}{3}$x-4
把x=-2代入得y=-$\frac{8}{3}$
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-$\frac{8}{3}$）
（3）S存在最大值，
∵DE∥PC  即DE∥AC
∴△OED∽△OAC
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OA}$即$\frac{4-m}{4}$=$\frac{OE}{6}$
∴OE=6-$\frac{3}{2}$m，AE=6-OE=$\frac{3}{2}$m
連結(jié)OP，
S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=$\frac{1}{2}$×6×4-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{3}{2}$m）×（4-m）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×m×2
=-$\frac{3}{4}$m²+3m=$-\frac{3}{4}{（m-2）^2}+3$
∵-$\frac{3}{4}$＜0
∴當(dāng)m=2時(shí)，S_最大=3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式，利用線(xiàn)段的性質(zhì)得出P點(diǎn)的位置，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出OE=6-$\frac{3}{2}$m，利用圖形割補(bǔ)法得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．