Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
（1）若∠A與∠C互補，∠CDF=36°，求∠ABE=54°．
（2）探索當∠A與∠C滿足什么關系時，BE與DF平行，并請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形內角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE=$\frac{1}{2}$ABC，∠CDF=$\frac{1}{2}$ADC，而∠CDF=40°，則∠ADC=72°，所以2∠ABE+72°=180°，解得∠ABE=54°；
（2）根據(jù)四邊形內角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，則∠ABE+∠ADF=90°，加上∠AFD+∠ADF=90°，利用等角的余角相等得∠AFD=∠ABE，然后根據(jù)平行線的判定定理得到DF∥BE．

解答 解：（1）∵∠A與∠C互補，
∴∠ADC+∠CBA=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
∴∠ADC=2∠1=2×36°=72°，∠ABC=2∠3，
∴72°+2∠3=180°，
∴∠3=54°．
故答案為54°；

（2）當∠A=∠C=90°時，DF∥BE，
∵在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
∵∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE，
∴DF∥BE．

點評 本題考查了平行線的判定與性質：平行線的判定是由角的數(shù)量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數(shù)量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．