Question

16．如圖1，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC＞CD，∠ACB=∠DCE且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）若∠ACB=60°，則∠AEB的度數(shù)為60°；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是相等；
（2）若∠ACB=n°，用n表示∠AEB并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)．若CM=7，BE=10，試求AB的長(zhǎng)．（請(qǐng)寫(xiě)全必要的證明和計(jì)算過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）易證∠ACD=∠BCE，即可證明△ACD≌△BCE，可得∠CDA=∠CEB，AD=BE，根據(jù)∠CDA=180°-∠CDE和∠CED=60°，即可求得∠AEB的值，即可解題；
（2）如圖1，根據(jù)已知條件∠ACB=∠DCE，求得∠ACD=∠BCE，推出△ACD≌△BCE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE=2CM=14，由于∠ACB=∠DCE=90°，得到∠ACD=∠BCE，證得△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BE=10，∠CAD=∠CBE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AEB=∠ACH=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）∵∠ACD+∠DCB=60°，∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，AD=BE，
∵∠CDA=180°-∠CDE=120°，∠CED=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
故答案為：60°，相等；

（2）如圖1，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AHC=∠BHE，
∴∠AEB=∠ACB=n；

（3）如圖2，∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，
∴CM=DM，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CM⊥DE，CM=DM=7，
∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE，
∵∠AHC=∠BHE，
∴∠AEB=∠ACH=90°，
∵AE=AD+DE=24，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{0}^{2}}$=26．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．