Question

4．如圖所示，設(shè)I是△ABC的內(nèi)心（三條角平分線的交點(diǎn)），AI的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，若IE=4，AE=8，則線段DE的長(zhǎng)是2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以得到△BED和△AEB相似的條件，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可以求得DE的長(zhǎng)，從而可以解答本題．

解答 解：連接IB，如右圖所示，
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD，
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE，
在△BED和△AEB中，
∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$，
∵IE=4，AE=8，
∴BE=4，
即DE=$\frac{B{E}^{2}}{AE}=\frac{{4}^{2}}{8}=2$，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的內(nèi)心與外心、三角形相似，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．