Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c的開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，$\frac{3}{2}$）
（1）若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，-$\frac{1}{2}$），且與x軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
①填空：b=-2a-1（用含a的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)EF²的值最小時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，當(dāng)0≤x≤1，拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為3時(shí)，求b的值．

Answer 1

分析 （1）①由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得c，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得b與a的關(guān)系式，可求得答案；②用a可表示出拋物線解析式，令y=0可得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可用a表示出EF的值，再利用函數(shù)性質(zhì)可求得其取得最小值時(shí)a的值，可求得拋物線解析式；
（2）可用b表示出拋物線解析式，可求得其對稱軸為x=-b，由題意可得出當(dāng)x=0、x=1或x=-b時(shí)，拋物線上的點(diǎn)可能離x軸最遠(yuǎn)，可分別求得其函數(shù)值，得到關(guān)于b的方程，可求得b的值．

解答 解：
（1）①∵拋物線y=ax²+bx+c的開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，$\frac{3}{2}$），
∴c=$\frac{3}{2}$，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（2，-$\frac{1}{2}$），
∴-$\frac{1}{2}$=4a+2b+$\frac{3}{2}$，
∴b=-2a-1，
故答案為：-2a-1；
②由①可得拋物線解析式為y=ax²-（2a+1）x+$\frac{3}{2}$，
令y=0可得ax²-（2a+1）x+$\frac{3}{2}$=0，
∵△=（2a+1）²-4a×$\frac{3}{2}$=4a²-2a+1=4（a-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2a+1}{a}$，x₁x₂=$\frac{3}{2a}$，
∴EF²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{4{a}^{2}-2a+1}{{a}^{2}}$=（$\frac{1}{a}$-1）²+3，
∴當(dāng)a=1時(shí)，EF²有最小值，即EF有最小值，
∴拋物線解析式為y=x²-3x+$\frac{3}{2}$；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+bx+$\frac{3}{2}$，
∴拋物線對稱軸為x=-b，
∴只有當(dāng)x=0、x=1或x=-b時(shí)，拋物線上的點(diǎn)才有可能離x軸最遠(yuǎn)，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{1}{2}$+b+$\frac{3}{2}$=2+b，當(dāng)x=-b時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（-b）²+b（-b）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$b²+$\frac{3}{2}$，
①當(dāng)|2+b|=3時(shí)，b=1或b=-5，且頂點(diǎn)不在范圍內(nèi)，滿足條件；
②當(dāng)|-$\frac{1}{2}$b²+$\frac{3}{2}$|=3時(shí)，b=±3，對稱軸為直線x=±3，不在范圍內(nèi)，故不符合題意，
綜上可知b的值為1或-5．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值、分類討論思想等知識．在（1）①中注意利用待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（1）②中用a表示出EF²是解題的關(guān)鍵，注意一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，在（2）中確定出拋物線上離x軸距離可能最遠(yuǎn)的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．