Question

13．如圖．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁+x₂=4．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設拋物線與y軸交于C點，求直線BC的表達式；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用x₁+x₂=4，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$求出x₁和x₂，從而得到A（1，0），B（3，0），然后利用交點式寫出拋物線的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；
（3）利用三角形面積公式求解．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=4，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）（x-3），
即y=-x²+4x-3；
（2）當x=0時，y=-x²+4x-3=-3，則C（0，-3），
設直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3；
（3）△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×（3-1）×3=3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式．