Question

7．對(duì)于兩個(gè)已知圖形G₁、G₂，在G₁上任取一點(diǎn)P，在G₂上任取一點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度最小時(shí)，我們稱這個(gè)最小的長(zhǎng)度為圖形G₁、G₂的“密距”；當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度最大值時(shí)，我們稱這個(gè)最大的長(zhǎng)度為圖形G₁、G₂的“疏距”．
請(qǐng)你在學(xué)習(xí)、理解上述定義的基礎(chǔ)上，解決下面的問題；
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），矩形ABCD的對(duì)稱中心為點(diǎn)O．
（1）線段AD和BC的“密距”是6，“疏距”是10；
（2）設(shè)直線y=-$\frac{3}{4}$x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若線段EF與矩形ABCD的“密距”是1，求它們的“疏距”；
（3）平面直角坐標(biāo)系xOy中有一個(gè)四邊形KLMN，將矩形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，它與四邊形KLMN的“疏距”的最大值為4$\sqrt{2}$+2，旋轉(zhuǎn)過程中，它與四邊形KLMN的“密距”的取值范圍是6-4$\sqrt{2}$≤密距≤8-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）線段AD與BC的“密距”是AB或DC的長(zhǎng)度；
（2）先求得直線OA的解析式，可知直線EF與OA垂直，故點(diǎn)C到直線EF的距離為“疏距”；
（3）①如圖當(dāng)O、K、D在一條直線上時(shí)，密距有最小值，當(dāng)OK⊥AD時(shí)，密距有最大值；
②當(dāng)四邊形KLMN為正方形時(shí)面積有最大值．

解答 解：（1）如圖1：

由垂線的性質(zhì)可知：線段AD與BC的“密距”是AB或DC的長(zhǎng)度，故“密距”是6．
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，“疏距”是10；
故答案為：6；10；
（2）如下圖：

設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
將x=3，y=4代入函數(shù)的解析式得4=3k，解得k=$\frac{4}{3}$，
∵直線EF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴直線OB和EF相互垂直．
∵EF與矩形ABCD的“密距”是1，
∴點(diǎn)D到EF的距離最長(zhǎng)=10+1=11，即“疏距”=11；
（3）①當(dāng)K在BD上時(shí)，如圖3，

矩形ABCD與四邊形KLMN的“疏距”為KB=4$\sqrt{2}$+2，
∴KD=BD-BK=10-（4$\sqrt{2}$+2）=8-4$\sqrt{2}$．故最大密距=8-4$\sqrt{2}$；
②當(dāng)OK⊥AD時(shí)，如圖4，

矩形ABCD與四邊形KLMN的“密距”有最小值，
∵矩形的寬為6，
∴O到AD的距離為3，
又由①可知OK=OD-KD=5-（8-4$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-3，
所以密距的最小值=3-OK=3-（4$\sqrt{2}$-3）=6-4$\sqrt{2}$．
故密距的范圍為：6-4$\sqrt{2}$≤密距≤8-4$\sqrt{2}$，
故答案為：6-4$\sqrt{2}$≤密距≤8-4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)與兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，理解定義，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．題目較為新穎，難度適中．