Question

2．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于點O．OH⊥BC于點H，連接OB．
（1）求證：∠BOD=∠COH；
（2）若∠B=60°，AE=$\frac{14}{3}$，CD=$\frac{7}{3}$，BO=2$\sqrt{3}$，求△AOC的面積．

Answer 1

分析 （1）先判斷點O為△ABC的內(nèi)心，則利用內(nèi)心性質(zhì)得∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，再由三角形外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BOD=90°-∠1，接著由OH⊥BC得到∠COH=90°-∠1，所以∠BOD=∠COH；
（2）作OQ⊥AC于Q，在AC上截取AG=AE=$\frac{14}{3}$，連結(jié)OG，如圖，先在Rt△BOH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，再利用角平分線性質(zhì)得OQ=OH=$\sqrt{3}$，接著證明△AEO≌△AGO得到△AOE=∠AOG=60°，所以∠COG=60°，然后證明△COG≌△COD得到CG=CD=$\frac{7}{3}$，所以AC=AG+CG=7，最后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 （1）證明：∵∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于點O，
∴點O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BOD=∠2+∠3
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）
=90°-∠1，
∵OH⊥BC，
∴∠COH=90°-∠1，
∴∠BOD=∠COH；
（2）解：作OQ⊥AC于Q，在AC上截取AG=AE=$\frac{14}{3}$，連結(jié)OG，如圖，
在Rt△BOH中，∵∠OBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵OC平分∠ACB，
∴OQ=OH=$\sqrt{3}$，
∵點O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=120°，
∴∠AOE=60°，∠COD=60°，
在△AOE和△AOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠OAE=∠OAG}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AGO，
∴△AOE=∠AOG=60°，
∴∠COG=60°
在△COG和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COG=∠COD}\\{OC=OC}\\{∠OCG=∠OCD}\end{array}\right.$，
∴△COG≌△COD，
∴CG=CD=$\frac{7}{3}$，
∴AC=AG+CG=$\frac{14}{3}$+$\frac{7}{3}$=7，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC•OQ=$\frac{1}{2}$×7×$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．