Question

13．閱讀下列文字：對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如：由圖1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．請(qǐng)解答下列問題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；
（3）圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片，長(zhǎng)為b和寬為a的長(zhǎng)方形紙片，利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，使得計(jì)算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．
（2）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．
（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使它滿足所給的條件

解答 解：（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）²，
各小矩形部分的面積之和=a²+2ab+b²+2bc+2ac+c²，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
（2）a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）=11²-2×38=45．
（3）如圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等即可解答．