Question

14．如圖，AC是⊙O的直徑，OE⊥AC交弦AB于E，若BC=4，S_△AOE=5，則sin∠BOE的值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知，OE為直徑AC的中垂線，則CE=AE=5，S_△AEC=2S_△AOE=10，由S_△AEC求出線段AE的長度，進而在Rt△BCE中，由勾股定理求出線段BE的長度；然后證明∠BOE=∠BCE，從而可求得結(jié)果．

解答 如圖，連接EC．

由題意可得，OE為直徑AC的垂直平分線，∠ABC=90°，
∴CE=AE，S_△AOE=S_△COE=5，
∴S_△AEC=2S_△AOE=10．
∴$\frac{1}{2}$AE•BC=10，
∵BC=4，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=3．
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，
∴B、C、O、E四點共圓，
∴∠BOE=∠BCE．
∴sin∠BOE=sin∠BCE=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是：添加輔助線將∠BOE轉(zhuǎn)化為∠BCE．