Question

11．在矩形ABCD中，$\frac{AB}{AD}$=a，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．如圖1，當(dāng)DH=DA時，
（1）填空：∠HGA=45度；
（2）若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時a的最小值；

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件得出∠HAE=45°，再根據(jù)HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，從而得出答案；
（2）先分兩種情況討論：第一種情況，根據(jù)（1）得出∠AHG=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，再根據(jù)EF∥HG，得出∠AHF=∠AHG-∠FHG，即可得出∠AHE=22.5°，此時，當(dāng)B與G重合時，a的值最小，求出最小值；第二種情況：根據(jù)已知得出∠AEH+∠FEH=45°，由折疊的性質(zhì)求出∠AHE的度數(shù)，此時，當(dāng)B與E重合時，a的值最小，設(shè)DH=DA=x，則AH=GH=$\sqrt{2}$x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，根據(jù)勾股定理得：AG=$\sqrt{2}$AH=2x，再根據(jù)∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，求出∠AEH=∠GHE，得出AB=AE=2x+$\sqrt{2}$x，從而求出a的最小值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，
∴∠DAH=∠DHA=45°，
∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，
∴∠HAE=∠HGA=45°；
故答案為：45．
（2）分兩種情況討論：
第一種情況：
∵∠HAG=∠HGA=45°；
∴∠AHG=90°，
由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，
∴∠FHG=∠F=45°，
∴∠AHF=∠AHG-∠FHG=45°，
即∠AHE+∠FHE=45°，
∴∠AHE=22.5°，
此時，當(dāng)B與G重合時，a的值最小，H為DC中點，DA=DH=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB，
此時$\frac{AB}{AD}$=a=2，所以a的最小值是2；
第二種情況：
∵EF∥HG，
∴∠HGA=∠FEA=45°，
即∠AEH+∠FEH=45°，
由折疊可知：∠AEH=∠FEH，
∴∠AEH=∠FEH=22.5°，
∵EF∥HG，
∴∠GHE=∠FEH=22.5°，
∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，
此時，當(dāng)B與E重合時，a的值最小，
設(shè)DH=DA=x，則AH=GH=$\sqrt{2}$x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{2}$AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，
∴∠AEH=∠GHE，
∴GH=GE=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AE=2x+$\sqrt{2}$x，
∴a的最小值是$\frac{2x+\sqrt{2}x}{x}$=2+$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了四邊形的綜合，用到的知識點是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識點，能夠全面的思考問題，分類討論求出∠AHE的度數(shù)，并求此時a的最小值是本題的難點．