Question

2．在△ABC中，CD⊥AB于D，若AC≠BC，∠A=32°，且$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$，則∠ABC為58或122°．

Answer 1

分析 此題分兩種情況，當(dāng)∠ABC是銳角，當(dāng)∠ABC是鈍角，由勾股定理和已知條件證得△ADC∽△BDC，得到對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)論即可求出．

解答 解：如圖1，∵CD⊥AB，
∴AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²，
∵$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴BD•（AD²+CD²）=AD•（CD²+BD²），
∴BD•AD（AD-BD）=CD²（AD-BD），
∴BD•AD=CD²，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$，
∵∠BDC=ADC，
∴△ADC∽△BDC，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACD=58°，
如圖2，同理可知△ADC∽△BDC，
∴∠DCB=∠A=32°，
∴∠DBC=58°，
∴∠ABC=122°，
綜上所述：∠ABC=58°，或122°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．