Question

14．正方形ABCD，45°的三角板BEF頂點(diǎn)放在B旋轉(zhuǎn)，兩邊分別交AD、DC于P、Q．
（1）判斷PQ，AP，CQ關(guān)系，并證明；
（2）判斷∠CQB和∠BQP大小關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）延長PA到H，使AH=CQ，連結(jié)PQ，先利用“SAS”可判斷△ABH≌△CBQ，則BH=BQ，∠HBA=∠QBC，由于∠PBQ=45°，∠ABH+∠ABP=45°，得到∠HBP=∠PBQ，然后再根據(jù)“SAS”證明△PBH≌△PBQ，則PH=PQ，即HA+PA=PQ，所以PQ=CQ+AP；
（2）在DN上截取DH=BM，與（1）同理先證明△BCH≌△BAP，得到BH=BP，∠CBH=∠ABP，再利用“SAS”證明∴△PBQ≌△HBQ，得到∠CQB=∠BQP．

解答 （1）解：PQ=CQ+AP；
理由：延長PA到H，使AH=CQ，連結(jié)PQ，如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，BC=AB，
在△ABH和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCQ}\\{AH=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CBQ（SAS），
∴BH=BQ，∠HBA=∠QBC，
∵∠PBQ=45°，
∴∠QBC+∠ABP=45°，
∴∠ABH+∠ABP=45°，
∴∠HBP=∠PBQ，
在△PBH和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BQ}\\{∠HBP=∠QBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBH≌△PBQ（SAS），
∴PH=PQ，即HA+PA=PQ，
∴PQ=CQ+AP；

（2）解：∠CQB=∠BQP．理由如下：
在DC上截取CH=AP，如圖（2），
與（1）一樣可證明△BCH≌△BAP，
∴BH=BP，∠CBH=∠ABP，
∵∠PBQ=45°，
∴∠PBA+∠ABQ=45°，
∴∠HBC+∠ABQ=45°，
∴∠HBQ=45°，
∴∠PBQ=∠HBQ，
在△PBQ和△HBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=HB}\\{∠PBQ=∠HBQ}\\{BQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△HBQ（SAS），
∴∠CQB=∠BQP．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．也考查了正方形的性質(zhì)．