Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC邊于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使點N落在射線PD上，連CM、DM，設運動時間為t（單位：s）
（1）用含t的代數(shù)式表示BQ與PQ長；
（2）若△DMN與△CMQ的面積之比為5：3，求出t的值；
（3）在運動過程中，是否存在t的值，使得△CMQ與△DMN相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用銳角三角函數(shù)求出tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，即可得出PQ，再用勾股定理即可求出BQ；
（2）由（1）知MN=MQ=4t，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理求出MH，最后用t表示三角形的面積，即可建立方程求解即可得出t值；
（3）分兩種情況討論計算，①先判斷出點C，M，N在同一條直線上，得出MQ∥BD，進而得出比例式建立方程求解即可；
②判斷出出點M只能在CD上，得出只有△DMN∽△MQC，即得出比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴BD=10，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PQ=QM=MN=PN，∠DNM=∠PQM=∠BPQ=90°，
在Rt△BPQ中，PB=4t，
∴tan∠CBD=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PQ}{4t}=\frac{3}{4}$，
∴PQ=3t，
∴QM=MN=PN=PQ=3t，
根據(jù)勾股定理得，BQ=$\sqrt{P{B}^{2}+P{Q}^{2}}$=5t，
（2）①點N在BD上，由（1）知，∠PBQ+∠PQB=90°，∠CQM+∠PQB=90°，
∴∠PBQ=∠CQM，
過點M作MH⊥BC于H，
在Rt△MHQ中，tan∠MQH=tan∠PBQ=$\frac{MH}{HQ}=\frac{3}{4}$，
∵QM=3t，
∴MH=$\frac{3}{5}×3t$=$\frac{9}{5}$t，
∵CQ=BC-BQ=8-5t，DN=BD-PB-PN=10-7t，
∴S_△CMQ=$\frac{1}{2}$CQ×MH=$\frac{1}{2}$×（8-5t）×$\frac{9}{5}$t=$\frac{9}{10}$t（8-5t），
S_△DMN=$\frac{1}{2}$DN×MN=$\frac{1}{2}$×（10-7t）×3t=$\frac{3}{2}$t（10-7t）
∵△DMN與△CMQ的面積之比為5：3，
∴$\frac{\frac{3}{2}t（10-7t）}{\frac{9}{10}t（8-5t）}$=$\frac{5}{3}$，
∴t=1．
②當點N在BD延長線上時，如圖1-1，
同①的方法得，t=$\frac{3}{2}$（只把①中的DN換成7t-10）
（3）存在，
如圖2，∵∠PBQ+∠BDC=90°，∠CQM=∠PBQ，
∴∠CQM+∠BDC=90°，
∵∠CQM+∠MCQ=90°，
∴∠MCQ=∠BDC，
∵△CMQ與△DMN相似，且∠DNM=90°，
∴∠CMQ=90°或∠MCQ=90°，
①當∠CMQ=90°時，
∵∠NMQ=90°，
∴點C，M，N在同一條直線上，
∵∠CNP=∠CMQ=90°，∴△DMN∽△QCM，∴$\frac{DN}{MQ}=\frac{MN}{CM}$
∵MQ=MN=3t，BN=7t，CM=$\frac{9}{4}$t，DN=10-7t
∴$\frac{10-7t}{3t}=\frac{3t}{\frac{9}{4}t}$，
∴t=$\frac{10}{11}$，
②當∠MCQ=90°時，點M在CD上，如圖3，
∵∠QMN=90°，
∴∠DMN+∠CMQ=90°，
∵∠CMQ+∠CQM=90°，
∴∠DMN=∠CMQ，
∴只有△DMN∽△MQC，
∴$\frac{DN}{MN}=\frac{CM}{CQ}$，
∵$\frac{CM}{CQ}=\frac{3}{4}$，MN=3t，DN=10-7t，
∴$\frac{10-7t}{3t}=\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{40}{37}$，
即：使得△CMQ與△DMN相似的t的值為$\frac{10}{11}$或$\frac{40}{37}$．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形的面積的計算方法，解本題的關鍵是判斷出△CMQ與△DMN相似的兩種可能，難點是每一種情況下，判斷出對應點．