Question

6．如圖，D、E分別是等邊△ABC的邊AC、BC所在直線上的兩點(diǎn)，且AD=CE，連BD、DE．
（1）如圖1，D在線段AC上，E在線段BC的延長線上；
①求證：DB=DE；②作DH⊥BC于H，∠BDE=90°，求證：BD=$\sqrt{2}$DH；
（2）如圖2，D在線段CA的延長線上，E在線段BC上，DE交AB于F點(diǎn)，∠CDE=15°，求證：BD=$\sqrt{2}$BF；
（3）如圖3，D在線段AC上，E在線段BC的延長線上，且CD=2CE，S_△ABC=8，請(qǐng)直接寫出△BDE的面積為$\frac{64}{9}$．

Answer 1

分析 （1）①證明：如圖1中，作DK∥BC交AB于K．只要證明△DKB≌△ECD即可解決問題；
②只要證明△DBH是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）如圖2中，作BN∥DE，DN∥EB，則四邊形BEDN是平行四邊形，作BH⊥DE于H，F(xiàn)M⊥BN于M．連接FN．想辦法證明△BFN是等腰直角三角形即可解決問題；
（3）如圖3中，作DH∥BC交AB于H．由（1）可知△DHB≌△ECD，推出S_△BDH=S_△CDE，推出S_△BDE=S_{四邊形DHBC}，由DH∥BC，可得△ADH∽△ACB，推出$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²，求出△ADH的面積即可解決問題；

解答 （1）①證明：如圖1中，作DK∥BC交AB于K．

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AKD=∠ABC=60°，∠ADK=∠ACB=60°，
∴△ADK是等邊三角形，
∴AD=DK=AK=CE，
∴BK=CD，∵∠DKB=∠DCE=120°，
∴△DKB≌△ECD，
∴BD=ED．

②如圖1中，∵BD=DE，∠BDE=90°，
∴∠DBH=45°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB=90°，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$DH．

（2）證明：如圖2中，作BN∥DE，DN∥EB，則四邊形BEDN是平行四邊形，作BH⊥DE于H，F(xiàn)M⊥BN于M．連接FN．

同法可證：BD=DE，
∴BN=DE=BD，
∵∠EDC=15°，∠C=60°，
∴∠DEB=∠DBE=75°，
∴∠BDE=30°，
在Rt⊥BDH中，BH=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠FBE=60°，
∴∠BFE=180°-60°-75°=45°，
∴BH=FH，易證四邊形BHFM是正方形，
∴BH=FH=BM=FM=$\frac{1}{2}$BN，
∴BM=MN=FM，
∴△BFN是等腰直角三角形，
∴BN=$\sqrt{2}$BF，
∴BD=$\sqrt{2}$BF．

（3）解：如圖3中，作DH∥BC交AB于H．

由（1）可知△DHB≌△ECD，
∴S_△BDH=S_△CDE，
∴S_△BDE=S_{四邊形DHBC}，
∵DH∥BC，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²，
∵CD=2CE，AD=CE，
∴CD=2AD，
∴AD：AC=1：3，
∴$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²=$\frac{1}{9}$，∵S_△ACB=8，
∴S_△ADH=$\frac{8}{9}$，
∴S_△BDE=S_{四邊形DHBC}=8-$\frac{8}{9}$=$\frac{64}{9}$．
故答案為$\frac{64}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．