Question

5．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，0），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3．
（1）求該一次函數(shù)的解析式；
（2）若反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象與該一次函數(shù)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，且AC=2BC，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先由一次函數(shù)y=kx+b（k＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，0），得出3k+b=0①，由于一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的交點(diǎn)是（0，b），根據(jù)三角形的面積公式可求得b的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；
（2）作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則AD∥BE．由△ACD∽△BCE，得出$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=2，那么AD=2BE．設(shè)B點(diǎn)縱坐標(biāo)為-n，則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2n．由直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，得出A（3-3n，2n），B（3+$\frac{3}{2}$n，-n），再根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，列出方程（3-3n）•2n=（3+$\frac{3}{2}$n）•（-n），解方程求出n的值，那么m=（3-3n）•2n，代入計(jì)算即可．

解答 解：∵一次函數(shù)y=kx+b（k＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，0），
∴3k+b=0①，點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離是3，
∵k＜0，
∴b＞0，
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的交點(diǎn)是（0，b），
∴$\frac{1}{2}$×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=-$\frac{2}{3}$，則函數(shù)的解析式是y=-$\frac{2}{3}$x+2．
故這個(gè)函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2；

（2）如圖，作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴AD=2BE．
設(shè)B點(diǎn)縱坐標(biāo)為-n，則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2n．
∵直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，
∴A（3-3n，2n），B（3+$\frac{3}{2}$n，-n），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴（3-3n）•2n=（3+$\frac{3}{2}$n）•（-n），
解得n₁=2，n₂=0（不合題意舍去），
∴m=（3-3n）•2n=-3×4=-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度適中．正確求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．