Question

10．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代換得∠ODB=∠ACB，利用平行線的判定得OD∥AC，由切線的性質得DF⊥OD，得出結論；
（2）連接OE，利用（1）的結論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．

（2）解：連接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半徑為4，
∴S_扇形AOE=4π，S_△AOE=8 ，
∴S_陰影=4π-8．

點評 本題主要考查了切線的性質，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當?shù)妮o助線，利用切線性質和圓周角定理，數(shù)形結合是解答此題的關鍵．