Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+n與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C（1，m），過x軸正半軸上的點(diǎn)D（a，0）作平行于y軸的直線l，分別與直線AB和雙曲線y=$\frac{4}{x}$交于P，Q．
（1）求m和n的值；
（2）當(dāng)a＞1，PQ=2QD時(shí)，求△APQ的面積；
（3）當(dāng)CP=CQ時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由直線y=2x+n與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C（1，m）．把C（1，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=4，把C（1，4）代入y=2x+n中得n=2；
（2）在y=2x+2中，令y=0，則x=-1，求得A（-1，0），求出P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），根據(jù)PQ=2QD，列方程2a+2-$\frac{4}{a}$=2×$\frac{4}{a}$，解得a=2，a=-3，即可得到結(jié)果；
（（3）根據(jù)D（a，0），l∥y軸，得到P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），過C作CH⊥PQ于H，由于C（1，4），得到H（a，4），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PH=HQ，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=2x+n與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y=$\frac{4}{x}$在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C（1，m）．
∴把C（1，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=2x+n中得n=2，
∴m和n的值分別為：4，2；

（2）在y=2x+2中，令y=0，則x=-1，
∴A（-1，0），
∵D（a，0），l∥y軸，
∴P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），
∵PQ=2QD，
∴2a+2-$\frac{4}{a}$=2×$\frac{4}{a}$，
解得：a=2，a=-3，
∵點(diǎn)P，Q在第一象限，
∴a=2，
∴PQ=4，
又∵AD=3
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵D（a，0），l∥y軸，
∴P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），
過C作CH⊥PQ于H，
∵C（1，4），
∴H（a，4），
∵PC=CQ，
∴PH=HQ，
∴2a+2-4=4-$\frac{4}{a}$，
解得：a=2，a=1（不合題意，舍去），
∴a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．