Question

6．某校九年級(jí)進(jìn)行集體跳繩比賽．如圖所示，跳繩時(shí)，繩甩到最高處時(shí)的形狀可看作是某拋物線的一部分，記作G，繩子兩端的距離AB約為8米，兩名甩繩同學(xué)拿繩的手到地面的距離AC和BD基本保持1米，當(dāng)繩甩過(guò)最低點(diǎn)時(shí)剛好擦過(guò)地面，且與拋物線G關(guān)于直線AB對(duì)稱．
（1）求拋物線G的表達(dá)式并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（2）如果身高為1.5米的小華站在CD之間，且距點(diǎn)C的水平距離為m米，繩子甩過(guò)最高處時(shí)超過(guò)她的頭頂，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先確定A、B和頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）求得當(dāng)y=1.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，則m的范圍即可求得．

解答 解：（1）如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系．

由題意可知A（-4，0），B（4，0），頂點(diǎn)E（0，1）．
設(shè)拋物線G的表達(dá)式為y=ax²+1．
∵A（-4，0）在拋物線G上，
∴16a+1=0，解得$a=-\frac{1}{16}$．
∴$y=-\frac{1}{16}{x^2}+1$．
自變量的取值范圍為-4≤x≤4．

（2）當(dāng)y=1.5-1=0.5時(shí)，-$\frac{1}{16}$x²+1=0.5，
解得：x=±4$\sqrt{2}$，
∴m的取值范圍是：4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．