Question

11．如圖1，Rt△ABC的兩條直角邊長分別為6cm和8cm，作Rt△ABC的內(nèi)切圓，則內(nèi)切圓的半徑為2cm；作Rt△ABC斜邊上的高，則Rt△ABC被分成兩個小直角三角形，分別作其內(nèi)切圓，得到圖2，這兩個內(nèi)切圓的半徑的和為$\frac{14}{5}$cm；在圖2中繼續(xù)作小直角三角形斜邊上的高，再分別作被分成的小直角三角形的內(nèi)切圓，得到圖3，…，依此類推，若在Rt△ABC中作出了16個這樣的小直角三角形，它們的內(nèi)切圓面積分別記為S₁、S₂，…，S₁₆，則S₁+S₂+…+S₁₆=4πcm²．

Answer 1

分析 先找出計算直角三角形內(nèi)切圓半徑的規(guī)律：半徑r=$\frac{a+b+c}{2}$，長特殊到一般，探究規(guī)律后，利用規(guī)律即可解決問題．

解答 解：圖1，過點O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四邊形OECF為矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF為正方形
設(shè)圓O的半徑為r，則r=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
∴S₁=π×2²=4π
圖2，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10×CD
∴CD=$\frac{24}{5}$由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，BD=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，
由（1）得：
⊙O的半徑=$\frac{\frac{18}{5}+\frac{24}{5}-6}{2}$=$\frac{6}{5}$，⊙E的半徑=$\frac{\frac{24}{5}+\frac{32}{5}-8}{2}$=$\frac{8}{5}$，
∴這兩個內(nèi)切圓的半徑的和=$\frac{6}{5}$+$\frac{8}{5}$=$\frac{14}{5}$cm，
∴S₁+S₂=π×（ $\frac{6}{5}$）²+π×（ $\frac{8}{5}$）²=4πcm²．
圖3，由S_△CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$\frac{32}{5}$=$\frac{1}{2}$×4×MD
∴MD=$\frac{96}{25}$，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}-（\frac{96}{25}）^{2}}$=$\frac{72}{25}$，MB=8-$\frac{72}{25}$=$\frac{128}{25}$，
由（1）得：⊙O的半徑=$\frac{6}{5}$，：⊙E的半徑=$\frac{\frac{96}{25}+\frac{72}{25}-\frac{24}{5}}{2}$=$\frac{24}{25}$，
∴⊙F的半徑=$\frac{\frac{96}{25}+\frac{128}{25}-\frac{32}{5}}{2}$=$\frac{32}{25}$，
∴S₁+S₂+S₃=π×（ $\frac{6}{5}$）²+π×（ $\frac{24}{25}$）²+π×（ $\frac{32}{25}$）²=4πcm²
…
觀察規(guī)律可知S₁+S₂+S₃+…+S₁₆=4πcm²．
故答案分別為$\frac{14}{5}$，4πcm²．

點評 本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓，這是一個圖形變化類的規(guī)律題，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解；解決此題的思路為：①先找出計算直角三角形內(nèi)切圓半徑的規(guī)律：半徑r=$\frac{a+b+c}{2}$（a、b是直角邊，c為斜邊）；②利用面積相等計算斜邊上的高；③運用勾股定理計算直角三角形的邊長．