Question

6．如果矩形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在原點(diǎn)、反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象、x軸和y軸上，那么這個(gè)矩形稱為反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象的伴隨矩形．如圖（a），矩形AEOF，正方形BGOH都是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）圖象的伴隨矩形．
（1）當(dāng)k=6時(shí)，①伴隨矩形的面積等于6；②在圖（b）中用尺規(guī)作圖的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上作出一個(gè)點(diǎn)P，使OP=2$\sqrt{3}$；
（2）在圖（a）中畫直線AB分別交x軸，y軸于點(diǎn)C，D，得圖（c），求證：DB：DA=CA：CB；
（3）由DB：DA=CA：CB，你還能得出什么更進(jìn)一步的結(jié)論？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的性質(zhì)和面積得出OE•AE=k=6；②作出第一象限角的平分線，與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；
（2）由正方形和矩形的性質(zhì)證明△BDG∽△ADF，△ACE∽△BCH，得出比例式，由伴隨矩形的面積相等，即可得出結(jié)論；
（3）由（2）容易得出結(jié)論：伴隨矩形的面積=k（k＞0）．

解答 （1）解：①∵四邊形AEOF是矩形，
∴∠AEO=∠EOF=∠OFA=∠EAF=90°，AE=OF，OE=AF，
∵矩形AEOF的面積=OE•AE，OE•AE=k=6，
∴伴隨矩形AEOF的面積=6；
②如圖所示：
作出第一象限角的平分線，與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P；
（2）證明：由（1）①得：正方形BGOH的面積=矩形AEOF的面積=6，
∴BG•BH=AE•AF=6，
∴$\frac{BG}{AF}=\frac{AE}{BH}$，
∵四邊形BGOH是正方形，四邊形AEOF是矩形，
∴BG=BH，BG∥AF，AE∥BH，
∴△BDG∽△ADF，△ACE∽△BCH，
$\frac{DB}{DA}=\frac{BG}{AF}$，$\frac{CA}{CB}=\frac{AE}{BH}$，
∴$\frac{DB}{DA}=\frac{CA}{CB}$；
（3）解：得出更進(jìn)一步的結(jié)論：伴隨矩形的面積=k（k＞0）；理由如下：
∵DB：DA=CA：CB，
由（2）得：$\frac{DB}{DA}=\frac{BG}{AF}$，$\frac{CA}{CB}=\frac{AE}{BH}$，
∴$\frac{BG}{AF}=\frac{AE}{BH}$，
∴BG•BH=AE•AF=6，
即伴隨矩形的面積=k（k＞0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、矩形面積的計(jì)算、尺規(guī)作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要證明兩對(duì)三角形相似得出比例式才能得出結(jié)論．