Question

19．如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△FCE；
（2）連接AC、BF，若AE=$\frac{1}{2}$BC，求證：四邊形ABFC為矩形；
（3）在（2）條件下，當(dāng)△ABC再滿足一個什么條件時，四邊形ABFC為正方形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB=CD，得出∠BAE=∠EFC，由AAS證明△ABE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的對邊相等得出AB=FC，由BE=CE，得出四邊形ABFC為平行四邊形，證出BC=AF，即可得出四邊形ABFC是矩形；
（3）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出AE⊥BC，得出四邊形ABFC是菱形，即可得出結(jié)論四邊形ABFC為正方形．

解答 （1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠EFC，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EFC}&{\;}\\{∠AEB=∠FEC}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
（2）證明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵BE=CE，
∴四邊形ABFC為平行四邊形，
∵AE=EF=$\frac{1}{2}$AF，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=AF，
∴四邊形ABFC是矩形；
（3）解：當(dāng)△ABC為等腰三角形時，即AB=AC時，四邊形ABFC為正方形；理由如下：
∵AB=AC，E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∵四邊形ABFC為平行四邊形，
∴四邊形ABFC是菱形，
又∵四邊形ABFC是矩形，
∴四邊形ABFC為正方形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，難度適中，證明三角形全等和平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．