Question

14．如圖所示，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直角邊AB、AC上，且∠EDF=90°，求證：BE=AF．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線，等腰三角形性質(zhì)，求出AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，AD=BD=DC，求出∠ADB=90°，∠EDB=∠FDA，根據(jù)ASA證出△ADF≌△BDE即可．

解答 證明：如圖，連接AD，
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，AD=BD=DC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDB=∠FDA=90°-∠ADE，
在△ADF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠FAD=∠B=45°}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴BE=AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能得出△ADF≌△BDE是解此題的關(guān)鍵．