Question

19．如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作直線交AC，AD于O，E，交CD的延長(zhǎng)線于F．
（1）若OE=2，BE=5，求OA：OC的值；
（2）求證：OE：OB=OB：OF；
（3）若OE=2，OF=6，求OB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先求出OB，再求出△AOE和△COB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可；
（2）求出△AOE和△COB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得OE：OB=OA：OC，再求出△AOB和△COF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得OA：OC=OB：OF，從而得證；
（3）將OE、OF的長(zhǎng)代入（2）中計(jì)算即可得解．

解答 （1）解：∵OE=2，BE=5，
∴OB=BE-OE=5-2=3，
∵?ABCD中，AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴OA：OC=OE：OB=2：3；

（2）證明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴OE：OB=OA：OC，
∵?ABCD中，AB∥CD，
∴△AOB∽△COF，
∴OA：OC=OB：OF，
∴OE：OB=OB：OF；

（3）解：∵OE：OB=OB：OF，
∴2：OB=OB：6，
解得OB=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，難點(diǎn)在于（2）利用OA：OC作為中間比．