Question

19．拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形？
（3）在（2）的結(jié)論下，試問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)N（不同于點(diǎn)Q），使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，列方程組可求a、b的值，寫出解析式即可；
（2）先求點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，求直線BD的解析式，根據(jù)橫坐標(biāo)m表示出點(diǎn)Q和M的縱坐標(biāo)，由MQ∥CD，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明MQ=CD即可，因此列等式：（-$\frac{1}{2}$m+4）-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4），求m即可；
（3）要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積，可先判斷四邊形CQBM是平行四邊形，解得M點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等，所以過(guò)M或Q點(diǎn)的與直線BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求，列方程組可得結(jié)論．

解答 解：（1）將A（-2，0），B（8，0）代入拋物線y=ax²+bx-4得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∵四邊形DECB是菱形，
∴OD=OC=4，
∴D（0，4），
設(shè)BD的解析式為：y=kx+b，
把B（8，0）、D（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵l⊥x軸，
∴M（m，-$\frac{1}{2}$m+4）、Q（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
如圖1，∵M(jìn)Q∥CD，
∴當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4），
化簡(jiǎn)得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合題意舍去），m₂=4，
∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；
（3）如圖2，要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積，N點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等；
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（8，0）、C（0，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-4，
由（2）知：當(dāng)P（4，0）時(shí)，四邊形DCQM為平行四邊形，
∴BM∥QC，BM=QC，
得△MFB≌△QFC，
分別過(guò)M、Q作BC的平行線l₁、l₂，
所以過(guò)M或Q點(diǎn)的斜率為的 $\frac{1}{2}$直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求，
當(dāng)m=4時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$m+4=-$\frac{1}{2}$×4+4=2，
∴M（4，2），
當(dāng)m=4時(shí)，y=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4=$\frac{1}{4}$×16-$\frac{3}{2}$×4-4=-6，
Q（4，-6），
①設(shè)直線l₁的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵直線l₁過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，
∴-6=$\frac{1}{2}$×4+b，b=-8，
∴直線l₁的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-8，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-8}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4$=$\frac{1}{2}$x-8，
解得x₁=x₂=4（與Q重合，舍去），
②∵直線l₂過(guò)M點(diǎn)，
同理求得直線l₂的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-4$=$\frac{1}{2}$x，
x²-x-16=0，
解得x₁=4+4$\sqrt{2}$，x₂=4-4$\sqrt{2}$，
代入y=$\frac{1}{2}$x，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4+4\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4-4\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
則N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），
故符合條件的N的坐標(biāo)為N₁（4+4$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），N₂（4-4$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．