Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，點A（-2，1），B（6，2），點P是x軸上一動點．求：
①PA+PB的最小值及此時點P的坐標；
②|PA-PB|的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出點A關于x軸的對稱點A′的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線A′B的坐標，求出直線與x軸的交點即可，根據(jù)兩點間的距離公式求出A′B的長即可；
（2）由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當A、B、P三點不共線時，|PA-PB|＜AB，又因為A，B兩點都在x軸同側，則當A、B、P三點共線時，|PA-PB|=AB，即|PA-PB|≤AB，所以本題中當點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時，點P在直線AB上．先運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵點A（-2，1），
∴點A關于x軸的對稱點A′的坐標為（-2，-1），
設直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-1}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=$\frac{3}{8}$x-$\frac{1}{4}$，
當y=0時，x=$\frac{2}{3}$．
∴P（$\frac{2}{3}$，0）；
∵A′（-2，-1），B（6，2），
∴A′B=$\sqrt{（-2-6）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{73}$，即PA+PB的最小值為$\sqrt{73}$；
（2）解：由題意可知，當點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時，點P在直線AB上．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（-2，1），B（6，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴y=$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{4}$，
令y=0，得0=$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{4}$，
解得x=-10．
∴點P的坐標是（-10，0）．

點評 此題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關鍵．