Question

5．已知：點(diǎn)P是一次函數(shù)y=-3x+6圖象在y右軸側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-$\frac{1}{2}$x沿y軸向上平移，分別交x軸，y軸于C、D兩點(diǎn)．
（1）若△PCD是以CD為直角邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)直線y=-$\frac{1}{2}$x沿y軸向上平移后的直線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+b，則D（0，b）、C（2b，0）；然后根據(jù)△PCD是以CD為直角邊的等腰直角三角形，可得PD⊥CD且PD=CD，據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．
（2）首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，6-3m），根據(jù)以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，可得PD⊥CD，PD=2CD，或PD⊥CD，CD=2PD；然后分類討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：（1）設(shè)直線y=-$\frac{1}{2}$x沿y軸向上平移后的直線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+b，
則D（0，b）、C（2b，0），
∵點(diǎn)P是一次函數(shù)y=-3x+6圖象在y右軸側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，6-3a），
∵△PCD是以CD為直角邊的等腰直角三角形，
∴PD⊥CD且PD=CD，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-3a-b}{a}=2}\\{{a}^{2}{+（6-3a-b）}^{2}{=b}^{2}{+（2b）}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1.5}\\{b=-1.5}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，3）或（1.5，1.5）．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，6-3m），
∵以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，
∴PD⊥CD，PD=2CD，或PD⊥CD，CD=2PD，
①PD⊥CD，PD=2CD時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-3m-b}{m}=2}\\{{{m}^{2}+（6-3m-b）}^{2}=4×{[b}^{2}{+（2b）}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{12}{11}}\\{b=\frac{6}{11}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{12}{11}$，$\frac{30}{11}$）或（$\frac{4}{3}$，2）．
②PD⊥CD，CD=2PD時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-3m-b}{m}=2}\\{^{2}{+（2b）}^{2}=4{[m}^{2}{+（6-3m-b）}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{6}{7}}\\{b=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{6}{7}$，$\frac{24}{7}$）或（2，0）．
綜上，可得
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{12}{11}$，$\frac{30}{11}$）、（$\frac{4}{3}$，2）、（$\frac{6}{7}$，$\frac{24}{7}$）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
（3）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑．