Question

15．關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+k-1=0的根都是正整數(shù)，則k的值為0，1．

Answer 1

分析 分k=0和k≠0兩種情況討論．當k=0時，所給方程為x-1=0，有整數(shù)根x=1；當k≠0時，所給方程為二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出k的值，然后用△＞0驗證k是否符合題意即可．

解答 解：當k=0，方程變?yōu)椋簒-1=0，解得方程有正整數(shù)根為x=1；
當k≠0，△=（2k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=8k+1，
一元二次方程都是正整數(shù)根，則△必須為完全平方數(shù)，
當△=9，則k=1；
當△=4，則k=$\frac{3}{8}$，
當△=16時，k=$\frac{15}{8}$；
當△=0，則k=-$\frac{1}{8}$；
而x=$\frac{-（2k+1）±\sqrt{8k+1}}{2k}$，
當k=1，解得x=0或-3；
當k=$\frac{3}{8}$，解得x=-$\frac{1}{7}$或-$\frac{15}{7}$；
當k=$\frac{15}{8}$，解得x=$\frac{1}{5}$或-$\frac{7}{3}$；
當k=-$\frac{1}{8}$，
解得x都不為整數(shù)，并且k為其它數(shù)△為完全平方數(shù)時，解得x都不為整數(shù)．
∴當k為0、1關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+k-1=0的根都是正整數(shù)．
故答案為：0，1．

點評 此題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了分類討論思想的運用以及一元二次方程都為整數(shù)根的必要條件就是判別式為完全平方數(shù)．