Question

11．已知，如圖1所示，直線y=2x+4分別交x、y軸于B、A，與直線y=$\frac{2}{3}$x交于點(diǎn)C，拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c的頂點(diǎn)P（橫坐標(biāo)為m）且在直線y=2x+4上移動(dòng)，交y軸于點(diǎn)D．
（1）求c的值（用含m的式子表示）；
（2）當(dāng)PD=PO時(shí)，求b的值；
（3）如圖2，M是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)P之間的水平距離為1，是否存在這樣的b值，使得線段PM與PM之間的拋物線組成的封閉圖形（陰影部分）在△ACO內(nèi)（包含邊）？若存在，求b的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m得出b=-m，再根據(jù)點(diǎn)P在直線y=2x+4上移動(dòng)得出y=2m+4，代入拋物線的解析式可得出c的表達(dá)式；
（2）連接PD，PO，根據(jù)PD=PO時(shí)△POD是等腰三角形，故點(diǎn)P在OD的垂直平分線上，由此可得出m的值；
（3）根據(jù)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+2m+4與y=$\frac{2}{3}$x相切得出關(guān)于x的方程，由△=0即可得出m的值，求出b的值；同理，根據(jù)點(diǎn)M在y軸上時(shí)得出b的值，由此得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴-$\frac{2×\frac{1}{2}}$=m，即b=-m，
∴拋物線的解析式可化為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-mx+c，
∵點(diǎn)P在直線y=2x+4上移動(dòng)，
∴當(dāng)x=m時(shí)，y=2m+4．
∴$\frac{1}{2}$m²-m²+c=2m+4，
∴c=$\frac{1}{2}$m²+2m+4；

（2）當(dāng)PD=PO時(shí)，連接PD，PO，如圖1，則2m+4=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+2m+4），
解得，m=2±2$\sqrt{3}$，
故b=-m=-2±2$\sqrt{3}$．

（3）當(dāng)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+2m+4與y=$\frac{2}{3}$x相切時(shí)，$\frac{1}{2}$x²-mx+$\frac{1}{2}$m²+2m+4=$\frac{2}{3}$x，
∴△=（6m+4）²-4×3•（3m²+12m+24）=0，
∴6m=-17，
∴m=-$\frac{17}{6}$，
此時(shí)P（-$\frac{17}{6}$，-$\frac{5}{3}$），x_M=-$\frac{11}{6}$＜0，圖形在△AOC內(nèi)，
∴b=-m=$\frac{17}{6}$．
當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，
∵x_M-x_p=1，
∴x_p=-1，
∴m=-1，
∴b=-m=1
∵陰影部分在△AOC內(nèi)，
∴1≤b≤$\frac{17}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)的最值即直線與函數(shù)相切的問(wèn)題，難度適中．