Question

4．如圖所示，在半徑為R的⊙O中，內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB、BC、AD的長恰好分別等于⊙O內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 首先連接OA，OB，OC，OD，過點O作OE⊥AB于點E，過點O作OF⊥AD于點F，由內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB、BC、AD的長恰好分別等于⊙O內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長，可得△AOB是頂角為120°的等腰三角形，△AOD是頂角為60°的等腰三角形，△BOC與△COD是等腰直角三角形，繼而求得各三角形的面積，從而求得答案．

解答 解：連接OA，OB，OC，OD，過點O作OE⊥AB于點E，過點O作OF⊥AD于點F，
∵內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB、BC、AD的長恰好分別等于⊙O內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長，
∴∠AOB=120°，∠BOC=90°，∠AOD=60°，
∴∠COD=90°，
∴∠AOE=60°，∠AOF=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$R，AF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$R，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴AB=2AE=$\sqrt{3}$R，AD=2AF=R，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$R×$\frac{1}{2}$R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，S_△BOC=S_△COD=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×R×R=$\frac{1}{2}$R²，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AOB+S_△AOD+S_△BOC+S_△COD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R²+R²．

點評 此題考查了正多邊形與圓的知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．