Question

8．如圖，從等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C向中線BD作垂線，交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接DE．求證：∠CDF=∠ADE．

Answer 1

分析 在BD上截取BG=CE，利用SAS證明△ACE與△CBG全等，進(jìn)而證明△ADE與△CDG全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：在BD上截取BG=CE，連接CG，如圖：
∵CE⊥BD，
∴∠BCA=∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CBD=∠ACE，
在△ACE與△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBD=∠ACE}\\{BG=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（SAS），
∴CG=AE，∠BCG=∠A=45°，
∴∠GCD=45°，
在△ADE與△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠GCD=∠A=45°}\\{CG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠CDF=∠ADE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是在BD上截取BG=CE，利用SAS證明△ACE與△CBG全等．