Question

19．如圖①，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線BE的垂線，垂足為點(diǎn)G，交直線OB于點(diǎn)F，易證：OE=OF
（1）如圖②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，其他條件不變，線段OE，OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你猜想并給予證明；
（2）若∠BAF=15°，AB=2，則OF=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC，AC⊥BD，AO=CO，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=∠BAC=30°，于是得到AO=$\sqrt{3}$OB，由對(duì)頂角線段得到∠GBF=∠OBE，推出∠AFO=∠OEB，在Rt△AOF中，tan∠AFO=$\frac{AO}{OF}$，在Rt△OBE中，tan∠OEF=$\frac{OB}{OE}$，等量代換得到$\frac{OA}{OF}=\frac{OB}{OE}$，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到∠GAE=45°，求得AO=OF，解直角三角形得到AO=AB•cos30°=$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）OF=$\sqrt{3}$OE，
理由：在菱形ABCD中，
∵AB=BC，AC⊥BD，AO=CO，
∴∠BOC=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∴AO=$\sqrt{3}$OB，
∵AG⊥BE，
∴∠BGF=90°，
∵∠GBF=∠OBE，
∴∠AFO=∠OEB，
在Rt△AOF中，tan∠AFO=$\frac{AO}{OF}$，
在Rt△OBE中，tan∠OEF=$\frac{OB}{OE}$，
∴$\frac{OA}{OF}=\frac{OB}{OE}$，
即$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$OE；

（2）∵∠OAB=30°，∠GAB=15°，
∴∠GAE=45°，
∵∠AOF=90°，
∴∠F=45°，
∴AO=OF，
∵∠BAO=30°，AB=2，
∴AO=AB•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．