Question

4．對勾函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$具有以下性質(zhì)：當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x增大而增大，如：2≤x≤4，那么x=2，y有最小值2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值為4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$．
請根據(jù)上述材料，完成一下問題：
（1）當(dāng)3≤x≤5時(shí)，求函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的最大值和最小值．
（2）0≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，把x=3代入求得最小值，把x=5代入求得最大值即可；
（2）函數(shù)y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2可以變形成y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-3，根據(jù)x的范圍，求得x²+1的范圍，即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值是3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$；
當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值是5+$\frac{1}{5}$=$\frac{26}{5}$；
（2）y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2，即y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-3，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)x²+1的范圍是：1≤x²+1≤5．
則當(dāng)x²+1=1時(shí)，y有最小值是1+1-3=-1；
當(dāng)x²+1=5時(shí)，y有最大值是5+$\frac{1}{5}$-3=$\frac{11}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確理解y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2與y=x+$\frac{1}{x}$之間形式上的關(guān)系是關(guān)鍵．