Question

14．在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，且AE=AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．下列結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�
①AC⊥DE；②$\frac{BE}{HE}$=$\frac{1}{2}$；③CD=2DH；④$\frac{{S}_{△BEH}}{{S}_{△BEC}}$=$\frac{DH}{AC}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在等腰直角△ADE中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正確；因為△CHE為直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因為∠ECB=15°，所以EC≠4EB，所以$\frac{BE}{HE}≠\frac{1}{2}$，不成立，故②錯誤；根據(jù)①可判定△ACD≌△ACE，全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE為等邊三角形，判定③正確；過H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)以及底相等的三角形面積之比等于高之比即可判定④正確．

解答 解：∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正確；
∵△CHE為直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②錯誤．
∵由證①中已知，∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAC=∠CAD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正確；
過H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴$\frac{MH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$，
∵∠DAC=∠ADH=45°，
∴DH=AH，
∴$\frac{MH}{BC}=\frac{DH}{AC}$，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴$\frac{{S}_{△BEH}}{{S}_{△BEC}}$=$\frac{MH}{BC}=\frac{DH}{AC}$，故④正確，
∴結(jié)論正確的個數(shù)是3．
故選C．

點評 此題考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．