Question

19．將一副直角三角板如圖1擺放在直線AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不動，將三角板MON繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)直至ON邊第一次重合在直線AD上，整個過程時間記為t秒．

（1）從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個過程共持續(xù)了9秒；
（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板MON，使得OM、ON在直線OC的異側(cè)，請直接寫出∠CON與∠AOM數(shù)量關系；
如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板MON，使得OM、ON同時在直線OC的右側(cè)，請問上面的數(shù)量關系是否仍然成立？并說明理由．
（3）若在三角板MON旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板OBC也繞點O以每秒12°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當ON邊第一次重合在直線AD上時兩三角板同時停止．
①試用字母t分別表示∠AOM與∠AOC；
②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當t為何值時OM平分∠AOC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠NOD=90°即可解決問題；
（2）①結(jié)論：∠CON-∠AOM=45°；由∠CON=90°-∠COM，∠AON=45°-∠COM，可得∠CON-∠AOM=（90°-∠COM）-（45°-∠COM）=45°
②如圖3中，結(jié)論仍然成立．證明方法類似；
（3）①∠AOM=10°t，∠AOC=12°t+45°；
②由OM平分∠AOC，可得∠AOC=2∠AOM，由此列出方程12°t+45°=2•10°t，即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，

∵∠MON=∠NOD=90°，
∴t=$\frac{90}{10}$=9s．
故答案為9．

（2）①結(jié)論：∠CON-∠AOM=45°；
理由：如圖2中，


∵∠CON=90°-∠COM，∠AON=45°-∠COM，
∴∠CON-∠AOM=（90°-∠COM）-（45°-∠COM）=45°
②如圖3中，結(jié)論仍然成立．

理由：∵∠CON=90°+∠COM，∠AOM=45°+∠COM，
∴∠CON-∠AOM=（90°+∠COM）-（45°+∠COM）=45°．

（3）①∠AOM=10t，∠AOC=12t+45；
②∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOM，
∴12t+45°=2×10t，
解得：t=$\frac{45}{8}$，
∴當t為$\frac{45}{8}$s時OM平分∠AOC．

點評 本題考查三角形綜合題、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．