Question

18．已知，如圖，AB是半圓的直徑，AC切半圓于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE，BE是方程x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的兩個根（DE＜BE），求AC的長．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系結合勾股定理求解；連接OD、AD．根據已知條件得到DE、BE的長，證明△ABD與△BDE相似求解，根據射影定理即可求解．

解答 解：∵DE、BE是方程的兩個根，
∴DE+BE=2（m+2），DE•BE=2m²-m+3．
又∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴DE²+BE²=BD²，
（DE+BE）²-2DE•BE=10²即4（m+2）²-2（2m²-m+3）=100，
∴m=5．
當m=5時，△=-4m²+20m+4=240＞0，
∴m的值為5．
連接DO，AD，
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥OD，∠ODE=∠E=90°．
∴∠ODE+∠E=180°，
∴OD∥BE．
∴∠ODB=∠DBE．
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBE．
∵m=5，
∴原方程為x²-14x+48=0．
∴x₁=6，x₂=8．
∵BE＞DE，
∴BE=8，DE=6．
∴BD=10，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠E=90°．
又∵∠OBD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE．
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BD}{BE}$，即$\frac{AB}{10}=\frac{10}{8}$，
∴AB=$\frac{25}{2}$，
∵AC切⊙O于點A，
∴AC⊥AB，∠CAB=90°．
∴△ACB∽△EDB，
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{ED}$，
∴AC=$\frac{75}{8}$．

點評 此題考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質、一元二次方程根與系數的關系等知識點，綜合性強，難度較大．