Question

4．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（2，-1），且過(guò)點(diǎn)B（3，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）將該二次函數(shù)圖象向左平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得二次函數(shù)的解析式及其與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式為：y=a（x-2）²-1，再把（3，0）代入，求出a的值，即可得出二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3；
（2）先確定二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）和（3，0），則把點(diǎn)（1，0）平移到原點(diǎn)，即二次函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)左加右減的平移規(guī)律寫出平移后二次函數(shù)的解析式，同時(shí)得到（3，0）平移后點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；或者把點(diǎn)（3，0）平移到原點(diǎn)，即二次函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)左加右減的平移規(guī)律寫出平移后二次函數(shù)的解析式，同時(shí)得到（1，0）平移后點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（2，-1），
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-2）²-1，
把點(diǎn)B（3，0）代入二次函數(shù)解析式，得：
0=a-1，解得a=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）令y=0，則x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
所以二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0）和（3，0）．
所以二次函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，平移后二次函數(shù)的解析式為y=（x-2+1）²-1，即y=x²-2x，平移后所得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
或者二次函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，平移后二次函數(shù)的解析式為y=（x-2+3）²-1，即y=x²+2x，平移后所得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)．