Question

11．如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，△CEF的面積為S₁，△AEB的面積為S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值等于$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=$\sqrt{5}$a，然后根據(jù)射影定理得到BC²=CE•CA，AB²=AE•AC從而求得CE=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，AE=$\frac{4\sqrt{5}a}{5}$，得到$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{4}$，利用△CEF∽△AEB，求得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{CE}{AE}$）²=$\frac{1}{16}$．

解答 解：∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=2a，
∴AC=$\sqrt{5}$a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC²=CE•CA，AB²=AE•AC
∴a²=CE•$\sqrt{5}$a，2a²=AE•$\sqrt{5}$a，
∴CE=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，AE=$\frac{4\sqrt{5}a}{5}$，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{4}$，
∵△CEF∽△AEB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{CE}{AE}$）²=$\frac{1}{16}$，
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定，能夠牢記射影定理的內(nèi)容對解決本題起到至關(guān)重要的作用，難度不大．