Question

19．如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且AE=BC，DF⊥AE，垂足是F，連接DE．求證：（1）DF=AB；（2）DE是∠FDC的平分線．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠B=∠C=90°，得出∠DAF=∠AEB，證出AD=AE，由AAS證明△ADF≌△EAB，即可得出結(jié)論；
（2）由HL證明Rt△DEF≌Rt△DEC，得出對(duì)應(yīng)角相等∠EDF=∠EDC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠B=∠C=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AE=BC，
∴AD=AE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
∴∠AFD=∠B，
在△ADF和△EAB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠AEB}&{\;}\\{∠AFD=∠B}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴DF=AB；
（2）∵DF=AB，AB=DC，
∴DF=DC，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠EDF=∠EDC，
∴DE是∠FDC的平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．