Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+5的圖象與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，與正比例函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x的圖象交于點(diǎn)P．
（1）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，a）．
（�。┣蟪鯽和k的值；
（ⅱ）求△OAP的面積．
（2）若△APO為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）（ⅰ）先把P（6，a）代入y=$\frac{4}{3}$x可求出a=8，然后把P（6，8）代入y=kx+5可計(jì)算出k的值；
（ⅱ）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）設(shè)P（t，$\frac{4}{3}$t），OA=5，分類討論：當(dāng)PA=PO時(shí)，則$\frac{4}{3}$t=$\frac{5}{2}$；當(dāng)AP=AO，則t²+（$\frac{4}{3}$t-5）²=5²；當(dāng)OP=OA，則t²+（$\frac{4}{3}$t）²=5²；然后分別解方程求出t的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）（ⅰ）把P（6，a）代入y=$\frac{4}{3}$x得a=$\frac{4}{3}$×6=8，
把P（6，8）代入y=kx+5得8=6k+5，解得k=$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x+5=5，則A（0，5），
所以S_△OAP=$\frac{1}{2}$×5×6=15；
（2）設(shè)P（t，$\frac{4}{3}$t），OA=5，
當(dāng)PA=PO時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$，即$\frac{4}{3}$t=$\frac{5}{2}$，即得t=$\frac{15}{8}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{15}{8}$，$\frac{5}{2}$）；
當(dāng)AP=AO，則t²+（$\frac{4}{3}$t-5）²=5²，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{24}{5}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）；
當(dāng)OP=OA，則t²+（$\frac{4}{3}$t）²=5²，解得t₁=3，t₂=-3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）或（-3，-4），
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）或（-3，-4）或（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）或（$\frac{15}{8}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的思想的應(yīng)用．