Question

2．如圖，已知A（-5，0）、B（-3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°點(diǎn)，P從點(diǎn)Q（4，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間ts．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠BCP=15°時，且△OPC中最長邊是最短邊的2倍，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明△BOC是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時，如圖2，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時，如圖3，分別求解即可；
（3）若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時，有以下三種情況：①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時，有∠BCP=90°，②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，③當(dāng)⊙P與AD相切時，由題意，得∠DAO=90°，分別求解即可；

解答 解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時，如圖2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=$\sqrt{3}$，此時t=4+$\sqrt{3}$；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時，如圖3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3 $\sqrt{3}$，
此時，t=4+3 $\sqrt{3}$，
∴t的值為4+$\sqrt{3}$或4+3 $\sqrt{3}$；

（3）由題意知，若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時，有以下三種情況：
①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時，有∠BCP=90°，

從而∠OCP=45°，得到OP=3，此時t=1；
②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時t=4；

③當(dāng)⊙P與AD相切時，由題意，得∠DAO=90°，

∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖4，PC²=PA²=（9-t）²，PO²=（t-4）²，
于是（9-t）²=（t-4）²+3²，即81-18t+t²=t²-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值為1或4或5.6．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．