Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，直線1切⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BH⊥1于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)C，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABH；
（2）若AB=10，BC=6．求點(diǎn)D到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由直線l與⊙O相切知OD⊥l，結(jié)合BH⊥1知OD∥BH，從而得∠ODB=∠DBH=∠OBD，即可得證；
（2）作DE⊥AB，由（1）中角平分線知DE=DH，連接AC，證四邊形CHDF是矩形可得DH=CF=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)勾股定理求得AC即可得出答案．

解答 解：（1）如圖，連接OD，

∵直線l與⊙O相切，
∴OD⊥l，
又∵BH⊥1，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵BD平分∠ABH，
∴DE=DH，
連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACH=∠CHD=∠HDF=90°，
∴四邊形CHDF是矩形，
∴DH=CF=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
則DE=DH=CF=$\frac{1}{2}$AC=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．