Question

9．如圖1，在正方形ABCD中，以BC為直徑的正方形內(nèi)，作半圓O，AE切半圓于點(diǎn)F交CD于點(diǎn)E，連接OA、OE．
（1）求證：AO⊥EO；
（2）如圖2，連接DF并延長交BC于點(diǎn)M，求$\frac{DF}{FM}$的值．

Answer 1

分析 （1）先證明AB和CD為⊙O的切線，則利用切線長定理得到OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，從而得到∠AOE=90°，所以O(shè)A⊥OE；
（2）作FH⊥CD于H，如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，AF=AB=4a，OB=OC=2a，先證明Rt△ABO∽Rt△OCE，利用相似比得到CE=a，則EA=5a，ED=3a，再證明△EFH∽△EAD，利用相似比求出FH=$\frac{5}{4}$a，EH=$\frac{3}{4}$a，則DH=$\frac{9}{4}$a，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，
∴AB和CD為⊙O的切線，
∵AE切半圓于點(diǎn)F，
∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，
而AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC=180°，
∴∠OAE+∠OEA=90°，
∴∠AOE=90°，
∴OA⊥OE；

（2）解：作FH⊥CD于H，如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，
則AF=AB=4a，OB=OC=2a，
∵∠AOE=90°，
∴∠AOB+∠COE=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EOC，
∴Rt△ABO∽Rt△OCE，
∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，
∴EF=EC=a，
∴EA=5a，ED=3a，
∵FH∥AD，
∴△EFH∽△EAD，
∴$\frac{FH}{AD}$=$\frac{EF}{EA}$=$\frac{EH}{ED}$，即$\frac{FH}{5a}$=$\frac{a}{4a}$=$\frac{EH}{3a}$，
∴FH=$\frac{5}{4}$a，EH=$\frac{3}{4}$a，
∴DH=3a-$\frac{3}{4}$a=$\frac{9}{4}$a，
∴CH=4a-$\frac{9}{4}$a=$\frac{7}{4}$a，
∵FH∥CM，
∴$\frac{DF}{FM}$=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．